Kwadratowa liczba piramidalna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Do kwadratowych numery piramidalne należą do figurowe numerów , a dokładniej do piramidalnych numerów . Określają liczbę kul, które można wykorzystać do zbudowania piramidy o podstawie kwadratu. Poniższy wykres przedstawia przykład czwartego kwadratu Pyramidalzahl 30, są to sumy pierwszych liczb kwadratowych .

Kwadratowy piramidalny numer.svg

W oznaczają następujące w -tym kwadratowego liczby piramidy.

To dotyczy

.

Pierwsze kwadratowe liczby piramidalne to

0, 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, ... (sekwencja A000330 w OEIS )

Dla niektórych autorów zero nie jest kwadratową liczbą piramidalną, więc ciąg liczb zaczyna się dopiero od jedynki.

Funkcja generująca

Funkcja generująca kwadratowych liczb piramidalnych to

Relacje z innymi liczbami liczbowymi, dalsze reprezentacje

To dotyczy

ze współczynnikami dwumianu i

z liczbami czworościennymi .

Ponadto, w tym -tym liczby trójkątne:

Powiązane liczby liczbowe

Inni

  (Śledź A159354 w OEIS )

Wyprowadzenie wzoru empirycznego

Różnica między dwoma kolejnymi liczbami kwadratowymi jest zawsze liczbą nieparzystą. Dokładniej, ponieważ różnica między -tym a -tym numerem kwadratu wynosi. Daje to następujący schemat:

Liczbę kwadratową można zatem przedstawić jako sumę liczb nieparzystych, to znaczy ma zastosowanie . Ten wyświetlacz sumy jest teraz używany do wyświetlania sumy pierwszych liczb kwadratowych za pomocą zestawu liczb nieparzystych ułożonych w trójkąt. Suma wszystkich liczb nieparzystych w trójkącie odpowiada dokładnie sumie pierwszych liczb kwadratowych.

Teraz ułóż te same liczby nieparzyste na dwa inne sposoby, aby utworzyć przystający trójkąt.

    

Jeśli umieścisz te trójkąty jeden na drugim, to suma każdej kolumny składającej się z trzech liczb jest zawsze stała i są takie kolumny. Zatem suma wszystkich liczb nieparzystych trzech trójkątów jest dokładnie trzykrotnością sumy pierwszych liczb kwadratowych. Obowiązują następujące zasady:

Zobacz też

literatura